標(biāo)準(zhǔn)差
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標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation） ，也稱均方差（mean square error），是各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離的平均數(shù)，它是離均差平方和平均后的方根，用σ表示。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。
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簡(jiǎn)介
標(biāo)準(zhǔn)差也被稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，公式如圖。
簡(jiǎn)單來說，標(biāo)準(zhǔn)差是一組數(shù)據(jù)平均值分散程度的一種度量。一個(gè)較大的標(biāo)準(zhǔn)差，代表大部分?jǐn)?shù)值和其平均值之間差異較大；一個(gè)較小的標(biāo)準(zhǔn)差，代表這些數(shù)值較接近平均值。
例如，兩組數(shù)的集合 ｛0, 5, 9, 14｝ 和 ｛5, 6, 8, 9｝ 其平均值都是 7 ，但第二個(gè)集合具有較小的標(biāo)準(zhǔn)差。
標(biāo)準(zhǔn)差可以當(dāng)作不確定性的一種測(cè)量。例如在物理科學(xué)中，做重復(fù)性測(cè)量時(shí)，測(cè)量數(shù)值集合的標(biāo)準(zhǔn)差代表這些測(cè)量的精確度。當(dāng)要決定測(cè)量值是否符合預(yù)測(cè)值，測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差占有決定性重要角色：如果測(cè)量平均值與預(yù)測(cè)值相差太遠(yuǎn)（同時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值做比較），則認(rèn)為測(cè)量值與預(yù)測(cè)值互相矛盾。這很容易理解，因?yàn)槿绻麥y(cè)量值都落在一定數(shù)值范圍之外，可以合理推論預(yù)測(cè)值是否正確。
標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)用于投資上，可作為量度回報(bào)穩(wěn)定性的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值越大，代表回報(bào)遠(yuǎn)離過去平均數(shù)值，回報(bào)較不穩(wěn)定故風(fēng)險(xiǎn)越高。相反，標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值越細(xì)，代表回報(bào)較為穩(wěn)定，風(fēng)險(xiǎn)亦較小。
例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語文測(cè)驗(yàn)，A組的分?jǐn)?shù)為95、85、75、65、55、45，B組的分?jǐn)?shù)為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標(biāo)準(zhǔn)差為17.07分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差為2.37分（此數(shù)據(jù)時(shí)在R統(tǒng)計(jì)軟件中運(yùn)行獲得），說明A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。
如是總體，標(biāo)準(zhǔn)差公式根號(hào)內(nèi)除以n
如是樣本，標(biāo)準(zhǔn)差公式根號(hào)內(nèi)除以（n-1)
因?yàn)槲覀兇罅拷佑|的是樣本，所以普遍使用根號(hào)內(nèi)除以（n-1)
公式意義
所有數(shù)減去其平均值的平方和，所得結(jié)果除以該組數(shù)之個(gè)數(shù)（或個(gè)數(shù)減一)，再把所得值開根號(hào)，所得之?dāng)?shù)就是這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。
標(biāo)準(zhǔn)差的意義
標(biāo)準(zhǔn)差越高,表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)越離散,也就是說越不精確
反之,標(biāo)準(zhǔn)差越低,代表實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)越精確
離散度
標(biāo)準(zhǔn)差是反應(yīng)一組數(shù)據(jù)離散程度最常用的一種量化形式，是表示精密確的最要指標(biāo)。說起標(biāo)準(zhǔn)差首先得搞清楚它出現(xiàn)的目 的。我們使用方法去檢測(cè)它，但檢測(cè)方法總是有誤差的，所以檢測(cè)值并不是其真實(shí)值。檢測(cè)值與真實(shí)值之間的差距就是評(píng)價(jià)檢測(cè)方法最有決定性的指標(biāo)。但是真實(shí)值 是多少，不得而知。因此怎樣量化檢測(cè)方法的準(zhǔn)確性就成了難題。這也是臨床工作質(zhì)控的目的：保證每批實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確可靠。
雖然樣本的真實(shí)值是不可能知道的，但是每個(gè)樣本總是會(huì)有一個(gè)真實(shí)值的，不管它究竟是多少?？梢韵胂螅粋€(gè)好的檢測(cè)方法，基檢測(cè)值應(yīng)該很緊密的分散在真實(shí)值周圍。如何不緊密，那距真實(shí)值的就會(huì)大，準(zhǔn)確性當(dāng)然也就不好了，不可能想象離散度大的方法，會(huì)測(cè)出準(zhǔn)確的結(jié)果。因此，離散度是評(píng)價(jià)方法的好壞的 最重要也是最基本的指標(biāo)。
一組數(shù)據(jù)怎樣去評(píng)價(jià)和量化它的離散度呢?人們使用了很多種方法：
極差
最直接也是最簡(jiǎn)單的方法，即最大值－最小值（也就是極差）來評(píng)價(jià)一組數(shù)據(jù)的離散度。這一方法在日常生活中最為常見，比如比賽中去掉最高最低分就是極差的具體應(yīng)用?！ ?/p>
離均差的平方和
由于誤差的不可控性，因此只由兩個(gè)數(shù)據(jù)來評(píng)判一組數(shù)據(jù)是不科學(xué)的。所以人們?cè)谝蟾叩念I(lǐng)域不使用極差來評(píng)判。其實(shí)，離散度就是數(shù)據(jù)偏離平均值的程度。因此將數(shù)據(jù)與均值之差（我們叫它離均差）加起來就能反映出一個(gè)準(zhǔn)確的離散程度。和越大離散度也就越大。
但是由于偶然誤差是成正態(tài)分布的，離均差有正有負(fù)，對(duì)于大樣本離均差的代數(shù)和為零的。為了避免正負(fù)問題，在數(shù)學(xué)有上有兩種方法：一種是取絕對(duì) 值，也就是常說的離均差絕對(duì)值之和。而為了避免符號(hào)問題，數(shù)學(xué)上最常用的是另一種方法－－平方，這樣就都成了非負(fù)數(shù)。因此，離均差的平方和成了評(píng)價(jià)離散度 一個(gè)指標(biāo)。
方差（S2）
由于離均差的平方和與樣本個(gè)數(shù)有關(guān)，只能反應(yīng)相同樣本的離散度，而實(shí)際工作中做比較很難做到相同的樣本，因此為了消除樣本個(gè)數(shù)的影響，增加可比性，將標(biāo)準(zhǔn)差求平均值，這就是我們所說的方差成了評(píng)價(jià)離散度的較好指標(biāo)。
樣本量越大越能反映真實(shí)的情況，而算數(shù)均值卻完全忽略了這個(gè)問題，對(duì)此統(tǒng)計(jì)學(xué)上早有考慮，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中樣本的均差多是除以自由度（n-1)，它是意思是樣本能自由選擇的程度。當(dāng)選到只剩一個(gè)時(shí)，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1?！ ?/p>
標(biāo)準(zhǔn)差（SD）
由于方差是數(shù)據(jù)的平方，與檢測(cè)值本身相差太大，人們難以直觀的衡量，所以常用方差開根號(hào)換算回來這就是我們要說的標(biāo)準(zhǔn)差。
在統(tǒng)計(jì)學(xué)中樣本的均差多是除以自由度（n-1)，它是意思是樣本能自由選擇的程度。當(dāng)選到只剩一個(gè)時(shí)，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1?！ ?/p>
變異系數(shù)（CV）
標(biāo)準(zhǔn)差能很客觀準(zhǔn)確的反映一組數(shù)據(jù)的離散程度，但是對(duì)于不同的檢目，或同一項(xiàng)目不同的樣本，標(biāo)準(zhǔn)差就缺乏可比性了，因此對(duì)于方法學(xué)評(píng)價(jià)來說又引入了變異系數(shù)CV?！ ?/p>
標(biāo)準(zhǔn)差與平均值之間的關(guān)系
一組數(shù)據(jù)的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差常常同時(shí)做為參考的依據(jù)。在直覺上，如果數(shù)值的中心以平均值來考慮，則標(biāo)準(zhǔn)差為統(tǒng)計(jì)分布之一“自然”的測(cè)量。
定義公式：
標(biāo)準(zhǔn)差公式
1、方差s^2=[(x1-x)^2+(x2-x)^2+......(xn-x)^2]/n
2、標(biāo)準(zhǔn)差=方差的算術(shù)平方根
幾何學(xué)解釋
從幾何學(xué)的角度出發(fā)，標(biāo)準(zhǔn)差可以理解為一個(gè)從 n 維空間的一個(gè)點(diǎn)到一條直線的距離的函數(shù)。舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，一組數(shù)據(jù)中有3個(gè)值，X1,X2,X3。它們可以在3維空間中確定一個(gè)點(diǎn) P = (X1,X2,X3)。想像一條通過原點(diǎn)的直線 。如果這組數(shù)據(jù)中的3個(gè)值都相等，則點(diǎn) P 就是直線 L 上的一個(gè)點(diǎn)，P 到 L 的距離為0, 所以標(biāo)準(zhǔn)差也為0。若這3個(gè)值不都相等，過點(diǎn) P 作垂線 PR 垂直于 L，PR 交 L 于點(diǎn) R，則 R 的坐標(biāo)為這3個(gè)值的平均數(shù)：
運(yùn)用一些代數(shù)知識(shí)，不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn) P 與點(diǎn) R 之間的距離(也就是點(diǎn) P 到直線 L 的距離)是。在 n 維空間中，這個(gè)規(guī)律同樣適用，把3換成 n 就可以了?！ ?/p>
標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤的區(qū)別
標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤都是心理統(tǒng)計(jì)學(xué)的內(nèi)容，兩者不但在字面上比較相近，而且兩者都是表示距離某一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)值或中間值的離散程度，即都表示變異程度，但是兩者是有著較大的區(qū)別的。
首先要從統(tǒng)計(jì)抽樣的方面說起。現(xiàn)實(shí)生活或者調(diào)查研究中，我們常常無法對(duì)某類欲進(jìn)行調(diào)查的目標(biāo)群體的所有成員都加以施測(cè)，而只能夠在所有成員（即樣本）中抽取一些成員出來進(jìn)行調(diào)查，然后利用統(tǒng)計(jì)原理和方法對(duì)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分析出來的數(shù)據(jù)結(jié)果就是樣本的結(jié)果，然后用樣本結(jié)果推斷總體的情況。一個(gè)總體可以抽取出多個(gè)樣本，所抽取的樣本越多，其樣本均值就越接近總體數(shù)據(jù)的平均值?！ ?/p>
標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation, STD）
表示的就是樣本數(shù)據(jù)的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)差就是樣本平均數(shù)方差的開平方，標(biāo)準(zhǔn)差通常是相對(duì)于樣本數(shù)據(jù)的平均值而定的，通常用M±SD來表示，表示樣本某個(gè)數(shù)據(jù)觀察值相距平均值有多遠(yuǎn)。從這里可以看到，標(biāo)準(zhǔn)差收到極值的影響。標(biāo)準(zhǔn)差越小，表明數(shù)據(jù)越聚集；標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明數(shù)據(jù)越離散。標(biāo)準(zhǔn)差的大小因測(cè)驗(yàn)而定，如果一個(gè)測(cè)驗(yàn)是學(xué)術(shù)測(cè)驗(yàn)，標(biāo)準(zhǔn)差大，表示學(xué)生分?jǐn)?shù)的離散程度大，更能夠測(cè)量出學(xué)生的學(xué)業(yè)水平；如果一個(gè)側(cè)樣測(cè)量的是某種心理品質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)差小，表明所編寫的題目是同質(zhì)的，這時(shí)候的標(biāo)準(zhǔn)差小的更好。標(biāo)準(zhǔn)差與正態(tài)分布有密切聯(lián)系：在正態(tài)分布中，1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差等于正態(tài)分布下曲線的68.26%的面積，1.96個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差等于95%的面積。這在測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)等值上有重要作用?！ ?/p>
標(biāo)準(zhǔn)誤（standard error, SE)
表示的是抽樣的誤差。因?yàn)閺囊粋€(gè)總體中可以抽取出無多個(gè)樣本，每一個(gè)樣本的數(shù)據(jù)都是對(duì)總體的數(shù)據(jù)的估計(jì)。標(biāo)準(zhǔn)誤代表的就是當(dāng)前的樣本對(duì)總體數(shù)據(jù)的估計(jì)，標(biāo)準(zhǔn)誤代表的就是樣本均數(shù)與總體均數(shù)的相對(duì)誤差。標(biāo)準(zhǔn)誤是由樣本的標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本人數(shù)的開平方來計(jì)算的。從這里可以看到，標(biāo)準(zhǔn)誤更大的是受到樣本人數(shù)的影響。樣本人數(shù)越大，標(biāo)準(zhǔn)誤越小，那么抽樣誤差就越小，就表明所抽取的樣本能夠較好地代表樣本?！ ?/p>
Excel函數(shù)
關(guān)于這個(gè)函數(shù)在EXCEL中的STDEVP函數(shù)有詳細(xì)描述，EXCEL中文版里面就是用的“標(biāo)準(zhǔn)偏差”字樣。但我國(guó)的中文教材等通常還是使用的是“標(biāo)準(zhǔn)差”。
在EXCEL中STDEVP函數(shù)是另外一種標(biāo)準(zhǔn)差，也就是總體標(biāo)準(zhǔn)差。在繁體中文的一些地方可能叫做“母體標(biāo)準(zhǔn)差”
在R統(tǒng)計(jì)軟件中標(biāo)準(zhǔn)差的程序?yàn)椋?sum((x-mean(x))^2)/(length(x)-1)
樣本標(biāo)準(zhǔn)差
在真實(shí)世界中，除非在某些特殊情況下，不然找到一個(gè)總體的真實(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差是不現(xiàn)實(shí)的。大多數(shù)情況下，總體標(biāo)準(zhǔn)差是通過隨機(jī)抽取一定量的樣本并計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)的。
應(yīng)用實(shí)例
標(biāo)準(zhǔn)差在確定企業(yè)最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用
資本結(jié)構(gòu)指的是企業(yè)各種資金來源的比例關(guān)系，是企業(yè)籌資活動(dòng)的結(jié)果。最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)是指能使企業(yè)資本成本最低且企業(yè)價(jià)值最大的資本結(jié)構(gòu)；產(chǎn)權(quán)比率，即借入資本與自有資本的構(gòu)成比例，是反映企業(yè)資本結(jié)構(gòu)的重要變量。企業(yè)的資產(chǎn)由債務(wù)性資金和權(quán)益性資金組成，但其
風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)和收益率各不相同。根據(jù)投資組合理論，投資的多樣化可以分散掉一定的風(fēng)險(xiǎn)，因此資金提供者需要決定投資于債務(wù)性資金和權(quán)益性資金的比例。以便在權(quán)衡風(fēng)險(xiǎn)和收益的情況下保證其利益的最大化。
理論探索而外部資金提供者利益的最大化也就是企業(yè)價(jià)值的最大化，這一投資比例對(duì)于企業(yè)融資而言也就是企業(yè)的最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)比例。
假定某企業(yè)的資金通過發(fā)行債券和股票兩種方式獲得，并且都屬于風(fēng)險(xiǎn)性資產(chǎn)。σ其中債券的收益率為rD，風(fēng)險(xiǎn)通過標(biāo)準(zhǔn)差σD來衡量；股票的收益率為rE，風(fēng)險(xiǎn)為σE；股票和債券的相關(guān)系數(shù)為pDE，協(xié)方差為COV(rD,rE)；債券所占的比重為wD，股票所占比重為WE(WD + WE = 1)。根據(jù)投資組合理論，企業(yè)外部投資者對(duì)該企業(yè)投資所獲的期望收益率為E(rp) = WDE(rD) + wEE(rE)，方差為
1、企業(yè)債務(wù)性資金和權(quán)益性資金完全正相關(guān)，即相關(guān)系數(shù)pDE為1。企業(yè)外部投資者獲得的期望收益率為E(rp) = wDE(rD) + wEE(rE)，風(fēng)險(xiǎn)標(biāo)準(zhǔn)差為σ = wDσD + wEσE,也就是組合的標(biāo)準(zhǔn)差等于各個(gè)部分標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均值，通過投資組合不可能分散掉投資風(fēng)險(xiǎn)。根據(jù)投資組合理論，投資組合的不同比例對(duì)于投資者而言是無差異的。
2、企業(yè)債務(wù)性資金和權(quán)益性資金完全負(fù)相關(guān)，即其相關(guān)系數(shù)為-1。投資者獲得的報(bào)酬率的期望值及其方差分別為。根據(jù)投資組合理論，只有當(dāng)投資比例大于σE / (σD + σE)時(shí)其投資組合才是有效的。對(duì)于企業(yè)籌資而言，也即企業(yè)的權(quán)益性資金的比例大干σE / (σD + σE)，企業(yè)的籌資比例才是有效的，而且當(dāng)組合比例為σE / (σD + σE)時(shí)，企業(yè)的籌資組合風(fēng)險(xiǎn)為零。
3、企業(yè)債務(wù)性資金和權(quán)益性資金的相關(guān)系數(shù)大于-1小于1。理論上，一個(gè)企業(yè)的兩種籌資方式之間的相關(guān)程度較高，一方面兩種籌資方式都承擔(dān)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，另一方面它們也承擔(dān)相同的公司風(fēng)險(xiǎn)。因此從實(shí)踐來看，企業(yè)的不同籌資方式間的相關(guān)程度不可能是完全的正相關(guān)和負(fù)相關(guān)。對(duì)于一個(gè)企業(yè)而言，債務(wù)性資金對(duì)企業(yè)有固定的要求權(quán)，權(quán)益性資金對(duì)企業(yè)只有剩余要求權(quán)，因此債務(wù)性資金的波動(dòng)不可能像權(quán)益性資金的波動(dòng)那么大。同時(shí)企業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)會(huì)同時(shí)影響企業(yè)的債務(wù)性資金和權(quán)益性資金，因此企業(yè)的債務(wù)性資金和權(quán)益性資金的相關(guān)系數(shù)不可能為負(fù)數(shù)。企業(yè)不同的籌資方式間的相關(guān)系數(shù)一般在0-1之間。
那么究竟在什么比例下企業(yè)的價(jià)值才會(huì)達(dá)到最大呢?根據(jù)投資組合理論，當(dāng)E(r1) > E(r2)，且
時(shí)，才能出現(xiàn)r1，優(yōu)于r2?？梢姡瑳Q定企業(yè)資本結(jié)構(gòu)的直接因素主要是不同籌資方式的收益率和風(fēng)險(xiǎn)以及它們之間的相關(guān)系數(shù)。
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